如果在天猫超市购买的商品不新鲜，消费者可以通过以下方式进行赔偿：
1.联系天猫超市客服：首先，消费者可以通过天猫超市的客服渠道进行投诉和申诉。可以通过在线客服、电话客服、或者投诉通道进行反馈，说明购买的商品不新鲜的情况，并提供相关证据，如照片、视频等。
2.要求退款或换货：消费者可以要求天猫超市进行退款或者换货。如果商品不新鲜是由于天猫超市的原因造成的，消费者有权要求退款或者换货。
3.要求补偿：如果商品不新鲜给消费者造成了一定的经济损失或者其他损失，消费者可以要求天猫超市进行相应的补偿。可以要求提供一定额度的优惠券或者代金券作为补偿。
4.投诉到市场监管部门：如果天猫超市无法解决问题，消费者可以向市场监管部门反映情况，要求介入调解处理。市场监管部门会对天猫超市的经营行为进行监督和检查，确保消费者的合法权益。
总之，消费者购买到不新鲜的商品是一种消费权益受损的情况，消费者有权要求天猫超市进行相应的赔偿和处理。消费者在遇到这种情况时，应该及时采取合适的措施，维护自己的合法权益。同时，天猫超市也应该重视消费者的投诉和意见，加强商品质量管理，提升服务水平，为消费者提供更加优质的购物体验。
